{"id":1236,"date":"2014-03-26T10:06:04","date_gmt":"2014-03-26T09:06:04","guid":{"rendered":"\/enzuazua\/?p=1236"},"modified":"2022-03-21T07:29:40","modified_gmt":"2022-03-21T06:29:40","slug":"las-matematicas-del-control","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/las-matematicas-del-control\/","title":{"rendered":"Las matem\u00e1ticas del control"},"content":{"rendered":"

En este art\u00edculo analizamos algunos aspectos de la Teor\u00eda de Control que incluy<\/span>en consideraciones sobre sus or\u00edgenes, sus motivaciones y su evoluci\u00f3n.\u00a0<\/span><\/p>\n

Describimos algunos elementos matem\u00e1ticos fundamentales y diversos avances que se caracterizan a la vez por su inter\u00e9s cient\u00edfico y su transcendencia desde un punto de vista social, tecnol\u00f3gico e industrial. Tambi\u00e9n, mencionamos algunos de los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato. Se trata de una versi\u00f3n resumida del art\u00edculo publicado en la revista ARBOR [Vol. CLXXIII, 725, pp. 383-394, 2007] en colaboraci\u00f3n con E. Fern\u00e1ndez-Cara de la Universidad de Sevilla.
\n<\/span><\/p>\n

1 Misi\u00f3n y conceptos clave<\/strong><\/span><\/p>\n

S. Bennet inicia su libro [3], dedicado a la historia de la <\/span>Ingenier\u00eda del Control<\/a>, con la siguiente cita de<\/span> Arist\u00f3teles<\/a> del cap\u00edtulo 3 del primer volumen de \u201cPol\u00edtica\u201d:<\/span><\/p>\n

. . . Si cada instrumento pudiera llevar a cabo su propia funci\u00f3n, respondiendo o anticip\u00e1ndose al trabajo de otros
\n<\/em>. . .<\/em>Si la lanzadera tejiese y la p\u00faa tocase el arpa sin <\/em>una mano que los guiara, los patronos no necesitar\u00edan ni sirvientes ni capataces.<\/em><\/span><\/p>\n

Esta idea, expresada con enorme acierto por Arist\u00f3teles, refleja de manera transparente lo que ha sido el motor de la Ingenier\u00eda del Control y de su Teor\u00eda Matem\u00e1tica: la automatizaci\u00f3n de los procesos para la liberaci\u00f3n y mejora de la calidad de vida del ser humano. La palabra \u201ccontrol\u201d implica \u201cactuaci\u00f3n\u201d y refleja el esfuerzo humano para intervenir en el medio que le rodea para garantizar su supervivencia y una permanente mejora en la calidad de vida.<\/span><\/p>\n

Muchos de los problemas de control pueden analizarse a trav\u00e9s de un modelo matem\u00e1tico que describe el sistema f\u00edsico en consideraci\u00f3n a trav\u00e9s de la ecuaci\u00f3n de estado <\/span><\/p>\n

A(y) = f(v).<\/em><\/span><\/p>\n

Aqu\u00ed, y<\/em> es la soluci\u00f3n, el estado<\/em>, la variable que proporciona informaci\u00f3n sobre el \u201cstatus\u201d del sistema y v<\/em> es el control, la variable que podemos elegir con libertad para actuar en el sistema, dentro del conjunto de controles admisibles. En la pr\u00e1ctica, la ecuaci\u00f3n de estado es un sitema algebraico o funcional (integral, diferencial ordinario, en derivadas parciales, etc.), eventualmente completado con condiciones iniciales, de contorno u otras.<\/span><\/p>\n

\u201cControlar\u201d el sistema es hallar el control v <\/em>en el conjunto de controles admisibles, de modo que la soluci\u00f3n verifique un objetivo prefijado. Cuando esta propiedad se cumple se dice que el sistema es controlable y, cuando lo es, con frecuencia, existe m\u00e1s de un control que satisface el objetivo. En estos casos es natural seleccionar un control \u00f3ptimo, por ejemplo, de talla m\u00ed\u0131nima en una determinada norma.<\/span><\/p>\n

Esta formulaci\u00f3n puede parecer sofisticada e incluso oscura a los lectores no familiarizados con este tema. Sin embargo, ha surgido de manera natural a lo largo de la historia de este campo y posee la gran ventaja de unificar el planteamiento de problemas de naturaleza muy distinta.<\/span><\/p>\n

La disciplina del Control ha existido desde hace mucho tiempo, incluso antes de haber recibido esa denominaci\u00f3n. Ciertamente, en el mundo de los seres vivos, los organismos est\u00e1n dotados de mecanismos que regulan las diferentes tareas que realizan. Esto garantiza que las variables esenciales pertenezcan a reg\u00edmenes \u00f3ptimos y las especies se mantengan con vida y capaces de crecer, desarrollarse y reproducirse.<\/span><\/p>\n

As\u00ed, las ideas clave de la Teor\u00eda de Control <\/span><\/a>son familiares a todos, dado que tienen su origen en la Naturaleza. La primera de ellas es el concepto de “feedback” (o mecanismo de retroalimentaci\u00f3n). Este t\u00e9rmino fue incorporado a la Ingenier\u00eda del Control en los a\u00f1os 20 por el <\/span>\u201cBell Telephone Laboratory<\/a>\u201d pero en esa \u00e9poca estaba ya consolidado en otras \u00e1reas, como por ejemplo la Econom\u00eda Pol\u00edtica. En este contexto, llamaremos feedback a toda ley que permita determinar el control v<\/em> a partir de la soluci\u00f3n asociada del estadio.<\/span><\/p>\n

Dicho de otro modo, un proceso de control en feedback es aqu\u00e9l en el cual el estado del sistema determina en cada momento el modo en el que debe actuar el control. Esta estrategia est\u00e1 relacionada con la noci\u00f3n de control en tiempo real, muy importante en las aplicaciones.<\/span><\/p>\n

Hoy d\u00eda, los procesos en feedback son ubicuos y aparecen en disciplinas tan diversas como la Econom\u00eda, Biolog\u00eda, Psicolog\u00eda, etc. De acuerdo con ello, en \u00e1reas diferentes, el cl\u00e1sico principio de “causa-efecto” ya no se entiende como una ley est\u00e1tica, sino\u00a0 desde una perspectiva din\u00e1mica. As\u00ed, debemos hablar m\u00e1s bien del principio de “causa-efecto-causa”. Para una discusi\u00f3n sobre el tema, v\u00e9ase por ejemplo [13].<\/span><\/p>\n

Una segunda idea clave est\u00e1 recogida en el siguiente p\u00e1rrafo, escrito por H.R. Hall en 1907 y tomado de [3]: <\/span><\/p>\n

It is a curious fact that, while political economists recognize that for the proper action of the law of supply and demand there must be fluctuations, it has not generally been<\/em> recognized by mechanicians in this matter of the steam engine governor. The aim of the mechanical engineer, as is that of the political economist, should be not to do <\/em>away with these fluctuations all together (for then he does away with the principles of self-regulation), but to diminish them as much as possible, still leaving them large <\/em>enough to have sufficient regulating power.<\/em><\/span><\/p>\n

La necesidad de permitir las fluctuaciones propias de un sistema corresponde a nuestra experiencia diaria. Por ejemplo, cuando conducimos un veh\u00edculo a gran velocidad y deseamos frenar, generalmente tratamos de hacerlo intermitentemente, intentando mantener el veh\u00edculo bajo control en todo momento. En el contexto de las relaciones humanas, es tambi\u00e9n claro que insistir en exceso en la misma idea no es necesariamente el mejor modo de convencer a nadie de nada.<\/span><\/p>\n

La misma regla se aplica para el control de un sistema: Con car\u00e1cter general, es preferible repartir o distribuir la acci\u00f3n del control, renunciando incluso a actuar en determinados instantes, y no actuar ininterrumpidamente desde el momento inicial sobre el sistema1<\/sup>. Muy a menudo, es mucho m\u00e1s eficiente controlar tratando de mantener una armon\u00eda que permita evolucionar hacia la situaci\u00f3n deseada sin brusquedad. En efecto, un exceso de control podr\u00eda conducir a un coste inadmisible y tambi\u00e9n a da\u00f1os irreversibles en el sistema en consideraci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

En la Teor\u00eda de Control, otro concepto importante es el de \u201coptimizaci\u00f3n\u201d. La Optimizaci\u00f3n<\/em> se caracteriza por ser una rama de las Matem\u00e1ticas cuyo objetivo es mejorar una variable con vistas a maximizar un beneficio (o minimizar un coste). Esto se puede aplicar a muchas situaciones pr\u00e1cticas distintas (la variable puede ser una temperatura, un campo de velocidades, una medida de la informaci\u00f3n, etc.) y la Teor\u00eda de la Optimizaci\u00f3n y sus t\u00e9cnicas constituyen un campo de trabajo de tal magnitud que es imposible hacer aqu\u00ed una presentaci\u00f3n unificada.<\/span><\/p>\n

En la pr\u00e1ctica, un problema tipo en optimizaci\u00f3n es aqu\u00e9l en el que se desea conducir el estado a un objetivo yd<\/sub> <\/em>y para ello se minimiza la distancia entre y<\/em> e yd<\/sub><\/em>. As\u00ed, con este plantemaiento, un problema de control se reduce al c\u00e1lculo de puntos extremales con restricciones y esto explica la \u00edntima conexi\u00f3n de la Teor\u00eda de Control con la Optimizaci\u00f3n a la que nos hemos referido. <\/span><\/p>\n

Hemos mencionado algunos de los pilares de la Teor\u00eda de Control: automatizaci\u00f3n, feedback, presencia de fluctuaciones y optimizaci\u00f3n. Otros muchos conceptos y puntos de vista han jugado un importante papel en el desarrollo de esta disciplina, como es el caso de la \u201cCibern\u00e9tica\u201d. Este t\u00e9rmino fue propuesto por el f\u00edsico franc\u00e9s A.-M. Amp\u00e8re en el siglo XIX y resurgi\u00f3 cuando N. Wiener, en 1948, titul\u00f3 como \u201cCybernetics\u201d uno de sus libros. Wiener defini\u00f3 la Cibern\u00e9tica como \u201cla Ciencia del control y la comunicaci\u00f3n entre animales y m\u00e1quinas\u201d. De este modo, estableci\u00f3 una primera conexi\u00f3n de la Teor\u00eda de Control con la Fisiolog\u00eda y describi\u00f3 y enfatiz\u00f3 lo que, a su juicio, deber\u00eda ser un futuro deseable: las m\u00e1quinas obedeciendo e imitando a los seres humanos. En aquella \u00e9poca todo esto no era m\u00e1s que ficci\u00f3n, pero ahora la situaci\u00f3n es completamente diferente, dado que los desarrollos recientes han hecho posible un gran n\u00famero de aplicaciones en rob\u00f3tica, dise\u00f1o asistido por ordenador, etc. (v\u00e9ase [17] para una recopilaci\u00f3n). Hoy d\u00eda la Cibern\u00e9tica no es ya un sue\u00f1o, sino una realidad que empezamos a encontrar por todas partes.<\/span><\/p>\n

2 Or\u00edgenes y evoluci\u00f3n<\/strong><\/span><\/p>\n

Con frecuencia tambi\u00e9n se utiliza la denominaci\u00f3n de<\/span> Ingenier\u00eda del Control<\/em><\/a> y cabe preguntarse si esta disciplina y la llamada Teor\u00eda Matem\u00e1tica de Control son verdaderamente distintas. Pero el que haya una doble denominaci\u00f3n es m\u00e1s bien una prueba del vigor de un campo genuinamente multidisciplinar y transversal en el que intervienen numerosas t\u00e9cnicas de la Ciencia y la Tecnolog\u00eda. Con el objeto de entender mejor la coexistencia y el uso de estos dos t\u00e9rminos, conviene adoptar un punto de vista hist\u00f3rico.<\/span><\/p>\n

Buscando atr\u00e1s en la Historia, podr\u00edamos llegar a la conclusi\u00f3n de que ya en el dise\u00f1o de los acueductos romanos, que ten\u00edan un sistema de v\u00e1lvulas para mantener un nivel constante de agua, hab\u00eda elementos propios de la Teor\u00eda de Control. De hecho, el control de los sistemas de irrigaci\u00f3n era\u00a0un arte bien dominado en Mesopotamia hacia 2000 A.C. En el antiguo Egipto exist\u00eda el oficio de los \u201charpenodaptai\u201d o \u201c estiradores de cuerdas\u201d, que\u00a0ten\u00edan como objetivo producir largos segmentos rectos que ayudasen a la construcci\u00f3n de pir\u00e1mides. Se considera que esto es una evidencia de que ya por entonces se hab\u00eda comprendido no s\u00f3lo que la distancia m\u00e1s corta entre dos puntos es la l\u00ednea recta (el principio m\u00e1s cl\u00e1sico y fundamental de la Optimizaci\u00f3n y del C\u00e1lculo de Variaciones), sino tambi\u00e9n que, de entre todos los caminos de longitud dada, el rectil\u00edneo es el que maximiza la distancia entre los dos extremos (la versi\u00f3n dual del principio precedente). El trabajo de los \u201charpenodaptai\u201d consist\u00eda precisamente en producir estas rectas que desempe\u00f1an el papel de curvas extremales u \u00f3ptimas.<\/span><\/p>\n

\"maquinavaporwatt\" <\/a>Fig. 1: M\u00e1quina de vapor de Watt, 1781 (tomada de [19]).<\/span><\/p>\n

En los trabajos de Ch. Huygens y R. Hooke sobre la oscilaci\u00f3n del p\u00e9ndulo a finales del siglo XVII, cuyo objetivo \u00faltimo era una medici\u00f3n precisa del tiempo, aparecen de nuevo elementos de lo que hoy conocemos como Teor\u00eda de Control. El objetivo entonces era proporcionar instrumentos que sirviesen a la navegaci\u00f3n y, en particular, al control del posicionamiento de los nav\u00edos.<\/span><\/p>\n

Estos trabajos fueron despu\u00e9s adaptados a la regulaci\u00f3n de la velocidad en los molinos de viento, utilizando un sistema mec\u00e1nico de bolas que giraban en torno a un eje cuya velocidad de rotaci\u00f3n fuese proporcional a la del las aspas del molino. Cuando la velocidad de giro aumentaba excesivamente, las bolas se alejaban del eje, frenando las alas del molino a trav\u00e9s de ingeniosos mecanismos y manteniendo de ese modo una velocidad aproximadamente constante.<\/span><\/p>\n

James Watt <\/a>adapt\u00f3 este principio a la m\u00e1quina de vapor, dando as\u00ed un enorme impulso a la revoluci\u00f3n industrial.<\/span><\/p>\n

El astr\u00f3nomo ingl\u00e9s <\/span>Georges Airy <\/a>fue el primero en intentar describir y explicar el comportamiento del regulador de bolas de Watt en t\u00e9rminos matem\u00e1ticos. Pero fue s\u00f3lo en 1868 cuando el f\u00edsico escoc\u00e9s<\/span> J.C. Maxwell<\/a> realiz\u00f3 el primer an\u00e1lisis te\u00f3rico convincente, explic\u00f3 algunos de los comportamientos un tanto err\u00e1ticos que se observaban en las m\u00e1quinas de entonces y propuso diversos mecanismos de control.<\/span><\/p>\n

A trav\u00e9s de la revoluci\u00f3n industrial, las ideas propias de lo que hoy se denomina Teor\u00eda de Control fueron tomando cuerpo y haci\u00e9ndose m\u00e1s y m\u00e1s presentes. De este modo, la Ingenier\u00eda del Control germin\u00f3 y empez\u00f3 a ser reconocida como una disciplina cient\u00edfico-tecno\u00f3ogica con entidad propia.<\/span><\/p>\n

En los a\u00f1os 30 se comenz\u00f3 a asumir que la Ingenier\u00eda del Control formaba parte importante\u00a0 del entramado de la Ingenier\u00edaa de Sistemas Complejos. Paralelamente, se produjo un importante avance en todo lo relacionado con el control autom\u00e1tico y las t\u00e9cnicas de dise\u00f1o y an\u00e1lisis. Las aplicaciones eran numerosas: amplificadores en sistemas telef\u00f3nicos, el sistema de distribuci\u00f3n de plantas el\u00e9ctricas, la estabilizaci\u00f3n de aviones, los mecanismos el\u00e9ctricos para la industria papelera, qu\u00edmica, del petr\u00f3leo y del acero, etc.<\/span><\/p>\n

De este modo fueron surgiendo gradualmente nuevos y s\u00f3lidos conceptos y para finales de esa d\u00e9cada se contaba ya con dos m\u00e9todos emergentes, pero diferenciados: un primer m\u00e9todo basado en la utilizaci\u00f3n de ecuaciones diferenciales y otro, de car\u00e1cter probabil\u00edstico, basado en el an\u00e1lisis de la relaci\u00f3n entre la amplitud y fase de la entrada (el \u201cinput\u201d) y de la salida (el \u201coutput\u201d).<\/span><\/p>\n

Ya para entonces las instituciones comenzaban a tomar conciencia de la relevancia de la disciplina del control autom\u00e1tico. Era el caso, por ejemplo, de la Sociedad Americana de Ingenieros Mec\u00e1nicos (ASME) en Estados Unidos y de la Instituci\u00f3n de Ingenieros El\u00e9ctricos (IEE) en Gran Breta\u00f1a.<\/span><\/p>\n

Durante la Segunda Guerra Mundial y los a\u00f1os que la siguieron, los ingenieros y cient\u00edficos tuvieron que afinar su experiencia en los mecanismos de control de seguimiento de aviones y de proyectiles antia\u00e9reos y en el dise\u00f1o de bater\u00edas antia\u00e9reas.<\/span><\/p>\n

A partir de 1960, todo lo que acabamos de describir comenz\u00f3 a conocerse como la Teor\u00eda de Control \u201ccl\u00e1sica\u201d. En la d\u00e9cada\u00a0de los 60 comienza una nueva era en la que se hace frente a algo que se hab\u00eda puesto de manifiesto con claridad en los desarrollos previos: los modelos\u00a0utilizados hasta ese momento eran inadecuados para representar la complejidad del mundo real, puesto que \u00e9ste, con frecuencia, tiene un\u00a0comportamiento no lineal y no determinista.<\/span><\/p>\n

Las contribuciones de R. Bellman (programaci\u00f3n din\u00e1mica), de R. Kalman (filtrado y an\u00e1lisis algebraico de problemas de control) en los Estados Unidos y de L. Pontryagin (principio del m\u00e1ximo para problemas de control \u00f3ptimo no-lineal) en la Uni\u00f3n Sovi\u00e9tica establecieron los pilares fundamentales de la investigaci\u00f3n en Teor\u00eda de Control de las \u00faltimas d\u00e9cadas.<\/span><\/p>\n

\"Jllions\"<\/span><\/a>Fig. 2: Jacques – Louis Lions (1927\u20132001)<\/span><\/p>\n

A esta lista es adecuado a\u00f1adir el nombre de\u00a0Jacques-Louis Lions2 <\/sup>, ilustre matem\u00e1tico aplicado franc\u00e9s, que influy\u00f3 de manera decisiva en el desarrollo de esta disciplina y en particular en sus conexiones con las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP), el An\u00e1lisis Num\u00e9rico y las aplicaciones industriales. El papel de las Matem\u00e1ticas no ha hecho m\u00e1s que crecer en las \u00faltimas d\u00e9cadas en el mundo del Control. R. Kalman, uno de los grandes protagonistas de la Teor\u00eda de Control moderna se\u00f1al\u00f3 en 1974 en su art\u00edculo [9] que, en el futuro, los avances en la Teor\u00eda de Control y la Optimizaci\u00f3n de sistemas complejos vendr\u00edan de la mano de progresos matem\u00e1ticos m\u00e1s que tecnol\u00f3gicos. Hoy en d\u00eda es tan fuerte el impulso de las nuevas tecnolog\u00edas que resulta arriesgado mantener esta afirmaci\u00f3n. Lo que s\u00ed se puede garantizar es que todo avance sustancial en Teor\u00eda de Control exige esfuerzos tanto en el \u00e1mbito de la teor\u00eda matem\u00e1tica correspondiente como en el contexto tecnol\u00f3gico.<\/span><\/p>\n

En este art\u00edculo no pretendemos, ni mucho menos, hacer un repaso exhaustivo de la Teor\u00eda de Control ni presentar el estado del arte en el campo. Se trata de una disciplina tan rica que esta tarea excede con creces las dimensiones del mismo. Los lectores interesados podr\u00e1n aprender m\u00e1s sobre estos temas a trav\u00e9s de la bibliograf\u00eda presentada al final.<\/span><\/p>\n

3 Algunas aplicaciones: de la cisterna a los robots<\/strong><\/span><\/p>\n

Son numerosas las aplicaciones de la Teor\u00eda de Control tanto en la vida diaria como en los procesos tecnol\u00f3gicos e industriales m\u00e1s sofisticados. En el libro editado por W. S. Levine [10], se recoge un buen n\u00famero de ellas. Algunas son tan simples como el mecanismo de funcionamiento de la cisterna de nuestro cuarto de ba\u00f1o. Son muchas las variantes (existen patentes que datan ya del a\u00f1o 1886), pero todas ellas funcionan sobre los mismos principios b\u00e1sicos. Lo que es m\u00e1s sorprendente es que en un mecanismo tan simple y cotidiano encontremos ya algunos de los elementos b\u00e1sicos de todos los procesos de control. Efectivamente, la cisterna est\u00e1 dotada de v\u00e1lvulas reguladoras, de mecanismos que desencadenan el proceso de control que, en funci\u00f3n del nivel de l\u00edquido captado por los sensores, suministran m\u00e1s o menos agua al dep\u00f3sito y de otros que, en el caso de alg\u00fan fallo, evitan las siempre desagradables inundaciones.<\/span><\/p>\n

Los mecanismos de control del ruido en las aeronaves modernas, a pesar de ser mucho m\u00e1s sofisticados desde el punto de vista tecnol\u00f3gico, funcionan sobre principios semejantes. Como hemos dicho, la lista de \u00e1mbitos industriales en los que la Teor\u00eda de Control interviene de manera decisiva es muy larga: la industria papelera, la automovil\u00edstica, la seguridad nuclear, los sistemas de defensa, los sistemas de calefacci\u00f3n, ventilaci\u00f3n y aire acondicionado en los grandes edificios, los lectores de discos compactos, las redes de generaci\u00f3n y suministro el\u00e9ctrico y los dispositivos de reducci\u00f3n del ruido, entre otros,\u00a0 sin olvidar las crecientes aplicaciones en la Medicina actual como el dise\u00f1o de corazones artificiales o de mecanismos de suministro de insulina.<\/span><\/p>\n

Con frecuencia, los sistemas a los que se tiene que hacer frente son sumamente complejos e incluso pueden presentar din\u00e1micas ca\u00f3ticas. De hecho, el control del caos es un tema de gran actualidad. En efecto, la naturaleza ca\u00f3tica de un sistema puede ser un serio obst\u00e1culo para su control, pero tambi\u00e9n puede convertirse en un aliado. Por ejemplo, las impresionantes piruetas en las trayectorias de aviones de combate, est\u00e1n basadas en el control a lo largo de trayectorias inestables. Es tambi\u00e9n en el campo de la Aeron\u00e1utica, donde el control de la turbulencia juega un papel fundamental; v\u00e9ase por ejemplo [11, 16]. En este campo, adem\u00e1s de estos aspectos relacionados con el control activo de trayectorias, se realiza permanentemente un importante esfuerzo tambi\u00e9n de control pasivo, consistente en el dise\u00f1o \u00f3ptimo u optimizaci\u00f3n de las formas de las aeronaves, para que \u00e9stas sean m\u00e1s seguras, silenciosas, r\u00e1pidas, para que cosuman menos combustible, etc.; v\u00e9ase [12, 17]. Esto exige la combinaci\u00f3n de sofisticadas t\u00e9cnicas de modelado, Mec\u00e1nica de Fluidos Computacional, Optimizaci\u00f3n, y Computaci\u00f3n y es un \u00e1mbito en el que los pa\u00edses l\u00edderes en Ciencia y Tecnolog\u00eda hacen importantes inversiones.<\/span><\/p>\n

Podr\u00edamos ampliar esta lista de importantes aplicaciones. Las estaciones espaciales que incorporan plataformas, reflectores \u00f3pticos de grandes dimensiones, los sistemas de comunicaci\u00f3n mediante sat\u00e9lites, etc., son ejemplos a\u00fan m\u00e1s sofisticados pero que van a ser cada vez m\u00e1s frecuentes y relevantes. El control de robots, desde los m\u00e1s simples, hasta los b\u00edpedos que reproducen la capacidad locomotriz del ser humano, es otro de los temas que atrae buena parte de la atenci\u00f3n de la Teor\u00eda de Control hoy d\u00eda.<\/span><\/p>\n

La Teor\u00eda Matem\u00e1tica subyacente a \u00e9stas y otras aplicaciones es tambi\u00e9n impresionante. Para una introducci\u00f3n a la misma en la que se abordan algunos ejemplos pr\u00e1cticos como el p\u00e9ndulo, un modelo simplificado de autom\u00f3vil, el dise\u00f1o molecular y algunos problemas relacionados con el medio ambiente, v\u00e9anse los art\u00edculos m\u00e1s extensos [7] y [20]. El lector interesado en una introducci\u00f3n a las t\u00e9cnicas matem\u00e1ticas b\u00e1sicas en la Ingenier\u00eda del Control y sus aplicaciones m\u00e1s comunes podr\u00e1 consultar los libros [5] y [16].<\/span><\/p>\n

4 La barrera del T\u00e1mesis: Un ejemplo de control ambiental<\/strong><\/span><\/p>\n

En los \u00faltimos a\u00f1os es creciente la presencia de las Matem\u00e1ticas en los diversos \u00e1mbitos de las Ciencias de la Vida. As\u00ed, las Matem\u00e1ticas a trav\u00e9s de sus especialidades m\u00e1s aplicadas como pueden ser las Ecuaciones en Derivadas Parciales y el An\u00e1lisis Num\u00e9rico no se ocupan ya s\u00f3lo de los modelos cl\u00e1sicos de la Mec\u00e1nica del Continuo, sino que tambi\u00e9n abordan cuestiones relacionadas con la Biolog\u00eda, la Medicina, la Meteorolog\u00eda, etc. La barrera del T\u00e1mesis, que describimos brevemente en esta secci\u00f3n, es sin duda un ejemplo excelente de aplicaci\u00f3n de las Matem\u00e1ticas y en particular de la Teor\u00eda de Control al medio ambiente. Recientemente, el tr\u00e1gico <\/span>“tsunami\u201d<\/a>3<\/sup> que devast\u00f3 el sur de Asia nos ha recordado hasta qu\u00e9 punto es importante desarrollar tambi\u00e9n teor\u00edas que nos permitan predecir y mantenernos al abrigo de las posibles cat\u00e1strofes naturales.<\/span><\/p>\n

\"barreratamesis\"<\/span><\/p>\n

Fig. 3: Barrera del T\u00e1mesis.<\/span><\/p>\n

Para los que viven y trabajan cerca de las costas la importancia de ser capaces de predecir el estado del mar con el objeto de protegerse de posibles inundaciones es evidente. \u00c9stas se producen a trav\u00e9s de complejas interacciones de las mareas, olas y tormentas.<\/span><\/p>\n

Los vientos y las variaciones de la presi\u00f3n atmosf\u00e9rica debidas a una tormenta pueden producir elevaciones o depresiones de varios metros en el nivel del mar en un per\u00edodo de tiempo que puede ir de varias horas a dos o tres d\u00edas. Los vientos tambi\u00e9n generan olas con per\u00edodos de hasta veinte segundos y longitudes del orden de decenas de metros. El efecto combinado de estos dos factores puede entra\u00f1ar un important\u00edsimo riesgo de destrucci\u00f3n e inundaci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

\"esquema<\/span><\/p>\n

Fig. 4: Esquema interno de la barrera.<\/span><\/p>\n

La amplitud del desastre depende frecuentemente de un posible efecto de acumulaci\u00f3n. Si estas elevaciones y olas se producen cuando la marea es alta, el riesgo de inundaciones es evidentemente mucho mayor.<\/span><\/p>\n

Este problema ha llegado a ser considerado como una verdadera prioridad en muchos lugares de nuestro planeta. Sin ir m\u00e1s lejos, en Londres se tiene constancia desde la Edad Media de inundaciones regulares, algunas de ellas muy importantes, debidas a elevaciones inesperadas en el nivel del T\u00e1mesis. La elevaci\u00f3n del agua puede incluso superar en m\u00e1s de dos metros el nivel medio esperado. Por otra parte, el nivel medio del agua en el puente de Londres se eleva unos 75 cent\u00edmetros cada siglo a causa del derretimiento de los hielos polares y esto hace que el problema sea cada vez m\u00e1s grave.<\/span><\/p>\n

El proceso por el que se producen estas inundaciones es en grandes l\u00edneas el siguiente. Con las bajas presiones atmosf\u00e9ricas en la costa de Canad\u00e1, el mar se eleva unos 30 cent\u00edmetros en una zona de unos 1600 kil\u00f3metros de di\u00e1metro. Esta elevaci\u00f3n de agua se propaga a trav\u00e9s del Atl\u00e1ntico a una velocidad de\u00a0 80\u201390 kil\u00f3metros por hora, hasta llegar al norte de Inglaterra. Ocasionalmente, los vientos septentrionales pueden empujar esta elevaci\u00f3n a lo largo del Mar del Norte, inyectando en el T\u00e1mesis millones de toneladas de agua adicional, que son empujadas r\u00edo arriba.<\/span><\/p>\n

\"funcionamiento\" <\/span><\/a><\/span><\/p>\n

Fig. 5: Funcionamiento de la barrera.<\/span><\/p>\n

En 1953 huvo una inundac\u00f3n desastrosa en la que perecieron m\u00e1s de 300 personas, que cubri\u00f3 de agua unas 64.000 hect\u00e1reas. En ese momento el Gobierno Brit\u00e1nico decidi\u00f3 constituir un comit\u00e9 de expertos que puso entonces de manifiesto la necesidad de desarrollar alg\u00fan tipo de mecanismo de defensa. Pero no hubo consenso sobre cu\u00e1l era la mejor soluci\u00f3n.<\/span><\/p>\n

Finalmente, en 1970 se tom\u00f3 la decisi\u00f3n de construir una barrera que se cierra cuando las previsiones indican un peligroso aumento en el nivel medio de agua. Tras ocho a\u00f1os de trabajo en el que intervinieron m\u00e1s de 4.000 personas, la barrera fue inaugurada en 1984. La barrera est\u00e1 constituida por diez enormes compuertas de acero construidas sobre estructuras de hormig\u00f3n y ancladas en el lecho del r\u00edo, dotadas de una maquinaria que permite el tr\u00e1fico con normalidad cuando est\u00e1n abiertas y su cierre en caso de necesidad. Desde que se construy\u00f3, la barrera ha sido cerrada en tres ocasiones.<\/span><\/p>\n

Obviamente, conviene cerrar la barrera tan pocas veces como sea posible, puesto que esto interfiere en la navegaci\u00f3n, causando perdidas econ\u00f3micas y trastornos importantes. Una vez cerrada, la barrera no puede volver a ser abierta hasta que los niveles de agua de ambos lados est\u00e1n igualados, siendo el tiempo medio de cierre de unas ocho horas. Por otra parte, el proceso de cierre dura unas dos horas, de modo que no se puede esperar a tener constancia visual del aumento del nivel del agua para proceder al mismo, sino que \u00e9ste debe iniciarse sobre la base de predicciones.<\/span><\/p>\n

Con el objeto de tomar la decisi\u00f3n de cerrar la barrera s\u00f3lo cuando es imprescindible se necesitan m\u00e9todos de previsi\u00f3n sumamente fiables que se realizan a partir de un modelo mixto que incluye un sistema para las mareas en torno a las Islas Brit\u00e1nicas y un sistema de previsi\u00f3n meteorol\u00f3gica. De este modo, se obtienen previsiones cada hora con 30 horas de antelaci\u00f3n en puntos seleccionados en torno a la costa.<\/span><\/p>\n

Este modelo es simulado en el supercomputador de la Oficina Meteorol\u00f3gica Brit\u00e1nica y los resultados se tranfieren al ordenador de la Barrera del T\u00e1mesis. A su vez, estos datos se trasladan a otro modelo a mayor escala, en el que intervienen el Mar del Norte, el Estuario del T\u00e1mesis y la parte baja del r\u00edo a la que afectan las mareas. Los resultados obtenidos se comparan con las previsiones medias. En base a este an\u00e1lisis, la autoridad de la barrera est\u00e1 habilitada a tomar la decisi\u00f3n de cerrarla.<\/span><\/p>\n

Los modelos que en la actualidad se utilizan son sistemas de EDPs que se resuelven mediante m\u00e9todos num\u00e9ricos de tipo diferencias finitas. Desde los a\u00f1os sesenta, tanto los modelos como los m\u00e9todos num\u00e9ricos han ido evolucionando, lo cual, junto a la enorme capacidad de c\u00e1lculo de los ordenadores de los que hoy se dispone, permite c\u00e1lculos sumamente fiables.<\/span><\/p>\n

A pesar de que la barrera responde a las necesidades de hoy, el problema no est\u00e1 resuelto a largo plazo. En efecto, tal y como dec\u00edamos, el nivel medio del r\u00edo sube 75 cent\u00edmetros cada siglo de modo que, con el tiempo, este m\u00e9todo dejar\u00e1 de ser eficiente.<\/span><\/p>\n

5 Algunas observaciones adicionales y perspectivas futuras<\/strong><\/span><\/p>\n

Son muchos los campos de la Ciencia y Tecnolog\u00eda donde se presentan retos para la Teor\u00eda de Control. En algunos casos se conf\u00eda en ser capaces de resolver \u00e9stos mediante avances tecnol\u00f3gicos que permitan la implementaci\u00f3n de controles m\u00e1s eficientes. Es el caso por ejemplo del control molecular mediante tecnolog\u00eda l\u00e1ser; v\u00e9ase [4]. Pero tanto en \u00e9sta como en otras muchas aplicaciones se necesitan tambi\u00e9n importantes avances te\u00f3ricos.<\/span><\/p>\n

En esta secci\u00f3n mencionamos brevemente algunos de estos temas. El lector interesado en una discusi\u00f3n m\u00e1s detallada puede consultar los dos informes de la sociedad SIAM sobre el tema [18] y [15].<\/span><\/p>\n

\u2022 Rob\u00f3tica<\/strong>. La Rob\u00f3tica es una de las \u00e1reas de la Tecnolog\u00eda que presenta los retos m\u00e1s estimulantes para los pr\u00f3ximos a\u00f1os y la Teor\u00eda de Control est\u00e1 tambi\u00e9n en el centro de gravedad en este campo, puesto que su desarrollo depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales de control. A este respecto, no resulta dif\u00edcil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine de manera estable o sea capaz de coger con sus \u201cmanos\u201d un objeto. En la p\u00e1gina web del \u201cRobotics and Automation Laboratory\u201d, de la Universidad de Tsinghua, Jap\u00f3n 4 <\/sup> puede encontrarse m\u00e1s informaci\u00f3n a este respecto. En la p\u00e1gina web de de R. Kennaway , de la Universidad de East Anglia (Norwich, Reino Unido), se muestran varias simulaciones adicionales.<\/span><\/p>\n

\n

\"robotantropomorfico\"<\/span><\/a><\/p>\n<\/blockquote>\n

Fig. 6: El Robot antropom\u00f3rfico BIP2000.<\/span><\/p>\n

En la Figura 6 mostramos una im\u00e1gen5\u00a0<\/sup>, ilustrativa del b\u00edpedo BIP-2000 dise\u00f1ado en el \u201cInstitut National de Recherche en Informatique et Automatique\u201d (Rocquencourt, Francia) . En<\/span> “Robotics and control theory simulations<\/a>” se describe una panor\u00e1mica de la investigaci\u00f3n en este campo hoy d\u00eda.<\/span><\/p>\n

\u2022 Control de Fluidos. <\/strong>La interacci\u00f3n de la Teor\u00eda de Control con la Mec\u00e1nica de fluidos es en estos momentos muy intensa. Tal y como hemos mencionado, se tratade un tema particularmente importante en Aeron\u00e1utica; v\u00e9ase [14].La interacci\u00f3n de la Teor\u00eda de Control con la Mec\u00e1nica de fluidos es en estos momentos muy intensa. Tal y como hemos mencionado, se tratade un tema particularmente importante en Aeron\u00e1utica; v\u00e9ase [14].<\/span><\/p>\n

Desde una perspectiva te\u00f3rica, muchas dificultades est\u00e1n ya presentes cuando se analiza la controlabilidad de las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes (v\u00e9ase [6] para un sumario de resultados conocidos). Son muchos los grupos que trabajan en los aspectos computacionales relacionados con el control de fluidos.<\/span><\/p>\n

En la p\u00e1gina web de <\/span>M. Hinze<\/a>, de la Universidad de Hamburgo (Alemania), se mustran simulaciones num\u00e9ricas que ponen de manifiesto la importancia del efecto del control en el flujo en torno a un obst\u00e1culo.<\/span><\/p>\n

En la<\/span> Universidad de Kentucky<\/a> (Estados Unidos), puede verse una serie de experimentos relacionados con el control activo de alas de avi\u00f3n realizados por N. J. Pern and J. Jacob. En las Figuras 7\u20138 se muestran resultados experimentales que ilustran el efecto del control.<\/span><\/p>\n

\"dispositivo <\/a><\/p>\n

Fig. 7: El dispositivo completo.<\/span><\/p>\n

\u00c9ste se activa desde el interior del ala y consiste en un mecanismo que modifica adecuadamente el perfil.<\/span><\/p>\n

Comp\u00e1rense las l\u00edneas de corriente en la Figura 8; en el segundo caso, el punto de separaci\u00f3n de la capa l\u00edmite ha sido considerablemente retrasado, el perfil se vuelve aerodin\u00e1mico y el flujo en torno al obst\u00e1culo se estabiliza.<\/span><\/p>\n

\"controlsincontrol\"<\/a> Fig. 8: Las l\u00edneas de corriente. (a) Sin control.\u00a0 (b) Con control.<\/span><\/p>\n

\u2022 Control de la combusti\u00f3n. <\/strong>Gran parte de la energ\u00eda que consumimos procede de la combusti\u00f3n. Por \u00e9ste y otros motivos, los avances en el dise\u00f1o de mecanismos de combusti\u00f3n m\u00e1s eficientes poseen grandes repercusiones econ\u00f3micas y medioambientales. As\u00ed, el control de la combusti\u00f3n es un tema en el que se realizar\u00e1n importantes esfuerzos en los pr\u00f3ximos a\u00f1os. Para detalles concretos sobre este \u00e1mbito de aplicaci\u00f3n, v\u00e9anse por ejemplo [2] y en la p\u00e1gina web de<\/span> Japan Aerospace Exploration Agency.<\/a><\/p>\n

\u2022 Investigaci\u00f3n biom\u00e9dica<\/strong>. El dise\u00f1o de terapias m\u00e9dicas adecuadas depende en gran medida de una buena comprensi\u00f3n de la din\u00e1mica fisiol\u00f3gica y el control de los procesos de este tipo constituye un campo sumamente activo, donde casi todo est\u00e1 por hacer desde un punto de vista matem\u00e1tico. Como ejemplo ilustrativo, merece la pena mencionar el dise\u00f1o de mecanismos de suministro de insulina equipados de \u201cchips\u201d de control.<\/span><\/p>\n

Para comprender la complejidad y el inter\u00e9s de las cuestiones que surgen en este \u00e1mbito, v\u00e9ase el art\u00edculo <\/span>“Some new directions in control theory inspired by systems biology<\/a>” de E. Sontag <\/a>(Universidad de Rutgers, Estados Unidos) y la bibliograf\u00eda que en \u00e9l se da. Recientemente, ha recibido gran atenci\u00f3n el control de sistemas de EDPs que modelan el crecimiento de tumores. En este contexto, aparecen de manera natural complicados problemas de frontera libre cuyas propiedades te\u00f3ricas no son por el momento del todo conocidas; v\u00e9ase por ejemplo [8, 22]. Tiene entonces perfecto sentido plantear problemas de control \u00f3ptimo donde el control es una variable que determina el tipo e intensidad de la terapia a emplear (estimulaci\u00f3n de la inmunoterapia, radioterapia, quimioterapia, etc.) y el funcional coste que se desea minimizar mide la patolog\u00eda del tumor. Tambi\u00e9n tiene sentido preguntarse por la controlabilidad de estos sistemas. En otras palabras, conviene saber responder a la pregunta \u00bfEs posible conducir el sistema desde una situaci\u00f3n inicial desfavorable (en un instante inicial t = 0) hasta una situaci\u00f3n final deseable (en el tiempo t = T) con una elecci\u00f3n apropiada del control ?<\/span><\/p>\n

Obs\u00e9rvese que una respuesta positiva a esta cuesti\u00f3n, seguida de una estrategia de elecci\u00f3n de controles adecuados abre el camino al dise\u00f1o de nuevas terapias. Para consideraciones sobre estas cuestiones y otras similares, v\u00e9ase por ejemplo [1] y las referencias all\u00ed citadas.<\/span><\/p>\n

\n

Notas <\/strong><\/span><\/p>\n

1<\/strong>-Por ejemplo, supongamos que (1.1) es un problema de valores iniciales para un sistema diferencial ordinario que arranca de un instante inicial t = 0 y que la propiedad deseada de y es que su valor en un instante final t = T pertenezca a un conjunto dado Yd<\/sub> . Entonces ser\u00e1n m\u00e1s efectivos controles cuya acci\u00f3n se distribuya m\u00e1s o menos uniformemente a lo largo del intervalo de tiempo que va de t = 0 a t = T\u00a0 a controles que intenten que la propiedad deseada se verifique cuanto antes. <\/span><\/p>\n

2<\/strong>-En 2002, la revista ESAIM:COCV (Control, Optimization and the Calculus of Variations), una de las l\u00edderes en la disciplina, public\u00f3 un volumen especial (volumen 8) en memoria de J.-L. Lions en el que se recoge una interesante colecci\u00f3n de art\u00edculos de investigaci\u00f3n que dan una perspectiva bastante completa del estado del arte en este campo. Por ejemplo, para una descripci\u00f3n de la situaci\u00f3n actual en lo que respecta a la controlabilidad de las EDPs y su aproximaci\u00f3n num\u00e9rica, v\u00e9ase [21]. <\/span><\/p>\n

3<\/strong>– En japon\u00e9s \u201ctsu\u201d significa puerto o bah\u00eda y \u201cnami\u201d ola. <\/span><\/p>\n

4<\/strong>–<\/strong> En las Figuras 4 y 5, que han sido tomadas de la p\u00e1gina http:\/\/www.floodlondon.com\/floodtb.htm, elaborada por R. Doyle en 2002, se muestra un esquema del mecanismo utilizado y del funcionamiento del mismo. <\/span><\/p>\n

Bibliograf\u00eda<\/strong><\/span>
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\n<\/span><\/span><\/span><\/p>\n

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Este art\u00edculo de divulgaci\u00f3n sobre la teor\u00eda del control fue publicado originalmente por E. FERNANDEZ-CARA \u00a0y E. Zuazua bajo el t\u00edtulo:“Las matem\u00e1ticas del control” en ARBOR, Vol. CLXXIII, 725, pp. 383-394, 2007 y puede descargarse desde este enlace<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En este art\u00edculo analizamos algunos aspectos de la Teor\u00eda de Control que incluyen consideraciones sobre sus or\u00edgenes, sus motivaciones y su evoluci\u00f3n. <\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":1328,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[],"class_list":["post-1236","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-math-in-motion"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1236","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1236"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1236\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9175,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1236\/revisions\/9175"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1328"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1236"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1236"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1236"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}