{"id":994,"date":"2007-10-01T09:41:25","date_gmt":"2007-10-01T08:41:25","guid":{"rendered":"\/enzuazua\/?p=994"},"modified":"2022-03-21T07:29:59","modified_gmt":"2022-03-21T06:29:59","slug":"las-matematicas-del-diseno-aeronautico-avances-y-retos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/las-matematicas-del-diseno-aeronautico-avances-y-retos\/","title":{"rendered":"Las matem\u00e1ticas del dise\u00f1o aeron\u00e1utico: avances y retos"},"content":{"rendered":"

1. El momento de las Matem\u00e1ticas.<\/strong><\/p>\n

Las Matem\u00e1ticas son a la vez una ciencia b\u00e1sica, el lenguaje en el que est\u00e1 escrito el universo, como dec\u00eda Galileo Galilei, y tambi\u00e9n una disciplina que interacciona permanentemente con todos los dem\u00e1s \u00e1mbitos de nuestra sociedad.<\/p>\n

En efecto, la sociedad actual reposa cada vez m\u00e1s en la comprensi\u00f3n que las Matem\u00e1ticas aportan y que est\u00e1n en la base de la innovaci\u00f3n en tecnolog\u00eda, ciencia, transporte, comunicaciones, etc. Por otra parte, las crecientes demandas de progreso exigen de un esfuerzo a\u00f1adido en investigaci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n

En este art\u00edculo presentamos un breve panorama de las matem\u00e1ticas que se desarrollan en el campo del dise\u00f1o \u00f3ptimo, orient\u00e1ndonos al \u00e1mbito aeron\u00e1utico y haciendo especial \u00e9nfasis en algunos de los problemas m\u00e1s relevantes a\u00fan por resolver, que tienen una motivaci\u00f3n fuertemente tecnol\u00f3gica y a la vez un marcado acento matem\u00e1tico.<\/p>\n

Las Matem\u00e1ticas son una ciencia amplia, que abarca diferentes campos entre los que destaca la Matem\u00e1tica Aplicada, que tiene como uno de sus principales objetivos contribuir a la comprensi\u00f3n y al dise\u00f1o de numerosos mecanismos y estructuras de gran importancia en nuestra vida diaria y en muy diversos \u00e1mbitos del I+D+i, haci\u00e9ndolos m\u00e1s funcionales, m\u00e1s econ\u00f3micos, m\u00e1s respetuosos con el medio ambiente, m\u00e1s atractivos, etc. Este es el principal cometido de la disciplina del Dise\u00f1o \u00f3ptimo a la que dedicamos esta art\u00edculo. Sus aplicaciones son muy variadas: Biotecnolog\u00eda y Biomedicina (sistema cardiovascular, el dise\u00f1o de bypasses y f\u00e1rmacos), F\u00edsica Cu\u00e1ntica (control l\u00e1ser en Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica, dise\u00f1o molecular, nano-estructuras, opto-electr\u00f3nica), estructuras y edificios inteligentes (en particular, que resistan los temblores s\u00edsmicos), Ingenier\u00eda Qu\u00edmica (reactores y columnas de destilaci\u00f3n), medioambiente (descontaminaci\u00f3n, diques, reducci\u00f3n del ruido, la barrera del T\u00e1mesis), sistemas de comunicaciones e irrigaci\u00f3n, prospecci\u00f3n y extracci\u00f3n de recursos naturales, aeron\u00e1utica, automoci\u00f3n, rob\u00f3tica,…<\/p>\n

En el \u00e1mbito de la aeron\u00e1utica, en el que nos centramos en este art\u00edculo, uno de los principales objetivos de las Matem\u00e1ticas es contribuir al dise\u00f1o de aeronaves m\u00e1s seguras, eficaces y respetuosas con el medio ambiente.<\/p>\n

Como veremos, a pesar de la complejidad de la empresa o, m\u00e1s bien, precisamente por eso, la Matem\u00e1tica Aplicada juega un importante papel.<\/p>\n

Son ya muchos a\u00f1os de investigaci\u00f3n matem\u00e1tica en este campo desde que los hermanos Wright, hace ahora algo m\u00e1s de un siglo, se convirtieran en los pioneros del aire. Pero es a\u00fan mucho lo que queda por hacer para ser capaces de realizar simulaciones num\u00e9ricas lo bastante r\u00e1pidas y eficaces que permitan desarrollar herramientas interactivas que sirvan a los dise\u00f1adores e ingenieros trabajar con un conocimiento fiable del rendimiento previsible de sus dise\u00f1os en tiempo real. Las grandes empresas del sector y los m\u00e1s prestigiosos laboratorios cient\u00edficos se afanan en este empe\u00f1o, en el que las Matem\u00e1ticas tienen mucho que aportar. A pesar de los importantes avances que se producen constantemente en la capacidad de c\u00f3mputo de los modernos supercomputadores, un verdadero salto cualitativo en este campo s\u00f3lo ser\u00e1 posible si somos capaces de avanzar significativamente en algunos de los problemas matem\u00e1ticos que describiremos en este art\u00edculo.<\/p>\n

El reto es grande pero se confirma la oportunidad de la c\u00e9lebre frase de Isaac Newton seg\u00fan la cual “caminamos a hombros de gigantes”. En efecto, son las contribuciones de Euler y el propio Newton, entre otros, las que nos permiten entender el estado del arte y planificar la investigaci\u00f3n futura.<\/p>\n

2. Dise\u00f1o \u00f3ptimo en aeron\u00e1utica<\/strong><\/p>\n

En muchas disciplinas de ingenier\u00eda, y esencialmente en aeron\u00e1utica, el uso sistem\u00e1tico de los m\u00e9todos matem\u00e1ticos para simular y optimizar procesos tiene ya una larga tradici\u00f3n y resulta indispensable para ahorrar energ\u00eda, reducir costes y poluci\u00f3n y para aumentar la seguridad. Por ejemplo, no hay prototipo de nuevo autom\u00f3vil de turismo que sea construido sin haber previamente recorrido millones de kil\u00f3metros en simulaciones por ordenador. A pesar de ello, a\u00fan a d\u00eda de hoy, la simulaci\u00f3n y optimizaci\u00f3n de una aeronave entera tiene un coste computacional prohibitivo.<\/p>\n

Son varias las razones para que esto sea as\u00ed y es por eso que \u00e9sta es un \u00e1rea en la que se contin\u00faa haciendo un esfuerzo investigador importante y en el que las Matem\u00e1ticas tienen cada vez m\u00e1s protagonismo.<\/p>\n

Desde un punto de vista matem\u00e1tico el problema se formula de la siguiente manera. El avi\u00f3n ocupa una regi\u00f3n o dominio del espacio tridimensional en torno a la cual fluye el aire. N\u00f3tese que adoptamos un punto de vista m\u00e1s propio del de los ensayos en t\u00faneles de viento que en el vuelo real, en el que la nave est\u00e1 en movimiento mientras que en nuestro modelo matem\u00e1tico consideramos que la aeronave est\u00e1 fija y es el aire el que fluye en torno a la misma, lo cual nos permite trabajar en un sistema de coordenadas fijo.<\/p>\n

\"FIGURA1A\"<\/p>\n

\"FIGURA1B\"<\/p>\n

Figura 1: Forma t\u00edpica de una aeronave y simulaci\u00f3n num\u00e9rica bi-dimensional del campo de presiones ejercido por el aire.<\/p>\n

En la pr\u00e1ctica, se pretende determinar la forma de la aeronave que optimice alg\u00fan criterio de inter\u00e9s industrial, comercial o medioambiental. Por ejemplo, que se maximice la sustentaci\u00f3n de la aeronave o se minimice el consumo de combustible. Con el objeto de medir estas cantidades introducimos una funci\u00f3n o funcional de coste2 J (\u2126), por ejemplo el consumo de combustible. Para simplificar un poco la presentaci\u00f3n supongamos que buscamos un m\u00ednimo de J, lo cual es, adem\u00e1s, un problema muy natural cuando hablamos del consumo de combustible. El problema consiste por tanto en minimizar el funcional coste en un conjunto de formas admisibles para el avi\u00f3n, es decir, de las posibles formas geom\u00e9tricas de la aeronave.<\/p>\n

Este tipo de problemas son ubicuos en muy diversos \u00e1mbitos de la actividad humana y son los que han dado lugar al desarrollo de campos tan importantes de las Matem\u00e1ticas como el C\u00e1lculo de Variaciones o la Investigaci\u00f3n Operativa. Este \u00faltimo se ocupa, en particular, de problemas de planificaci\u00f3n en las que el gran n\u00famero de par\u00e1metros hace imposible una soluci\u00f3n basada en la mera intuici\u00f3n (planificaci\u00f3n del funcionamiento de los sem\u00e1foros de una gran ciudad, por ejemplo, o distribuci\u00f3n de personal en una gran empresa, con diversos departamentos y turnos.)<\/p>\n

Volviendo al caso de la aeron\u00e1utica que nos ocupa, una de las principales dificultades radica frecuentemente en la complejidad del funcional coste en consideraci\u00f3n, que depende de la forma de la aeronave de manera muy poco evidente, a trav\u00e9s del campo de velocidades del fluido que lo rodea (el aire).<\/p>\n

Es por eso que una de las piezas clave de la metodolog\u00eda matem\u00e1tica que aqu\u00ed describimos es disponer de modelos fiables para el comportamiento del aire entorno al dise\u00f1o en consideraci\u00f3n y de m\u00e9todos computacionales aproximados para su c\u00e1lculo y previsi\u00f3n. Este es precisamente el papel de la Mec\u00e1nica de Fluidos que proporciona diversos modelos que permiten identificar el campo de velocidades del fluido (que indica esencialmente en qu\u00e9 direcci\u00f3n y con qu\u00e9 velocidad se mueve cada part\u00edcula de fluido) a trav\u00e9s de sistemas de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) que describen el movimiento del aire en torno a la aeronave.<\/p>\n

Hay toda una jerarqu\u00eda de tales modelos dependiendo de que consideremos un modelo tridimensional completo que evoluciona en el tiempo, estacionario (independiente del tiempo), que tengamos en cuenta los efectos de la viscosidad del aire o no, de la turbulencia que se genera en torno a la aeronave, que adoptemos un modelo reducido bi o uni-dimensional, etc. Entre ellos cabe destacar las ecuaciones de Navier-Stokes, las de Euler, los modelos de turbulencia (Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), el modelo de Spalart-Allmaras) y las ecuaciones de Burgers.<\/p>\n

Como estamos viendo, todo esto es un proceso complejo en el que intervienen diferentes ingredientes de las m\u00e1s diversas \u00e1reas: Mec\u00e1nica de Fluidos, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Dise\u00f1o \u00f3ptimo, Geometr\u00eda,… Ser\u00eda materialmente imposible concluir con \u00e9xito este programa sin la ayuda del An\u00e1lisis y la Simulaci\u00f3n Num\u00e9rica mediante los ordenadores m\u00e1s potentes.<\/p>\n

En este punto conviene tambi\u00e9n que tengamos en cuenta que, a pesar de que en cada uno de los pasos que debemos dar en el desarrollo de este ambicioso programa usemos los m\u00e9todos computacionales m\u00e1s eficaces, el peque\u00f1o error computacional que cometamos en cada paso puede tener un efecto acumulado importante en el resultado final. Obviamente, en la pr\u00e1ctica, el dise\u00f1o \u00f3ptimo nunca se alcanza, ni es imprescindible hacerlo pues una mejora significativa del dise\u00f1o previo suele resultar rentable y suficiente. Ahora bien, s\u00f3lo la combinaci\u00f3n de las herramientas m\u00e1s punteras existentes y el dise\u00f1o de nuevos m\u00e9todos matem\u00e1ticos y computacionales puede dar lugar a una mejora de los dise\u00f1os ya existentes incluso si el objetivo final es la mejora de su rendimiento en un porcentaje aparentemente peque\u00f1o.<\/p>\n

El punto de vista que adoptamos al abordar el dise\u00f1o de las aeronaves desde las Matem\u00e1ticas es aqu\u00e9l, seg\u00fan el cual, al alterarse la forma de la aeronave en b\u00fasqueda del \u00f3ptimo, se altera el flujo del fluido, el aire en este caso, a su alrededor. Es la interacci\u00f3n del cuerpo del avi\u00f3n con el aire la que determina el grado eficacia del dise\u00f1o, a trav\u00e9s del valor correspondiente del funcional de coste, que normalmente est\u00e1 definido sobre la superficie exterior de la aeronave (lo que en Matem\u00e1ticas se denomina frontera) y que mide cantidades f\u00edsicas que afectan el rendimiento del avi\u00f3n, como la resistencia, la presi\u00f3n o la sustentaci\u00f3n de dicha configuraci\u00f3n.<\/p>\n

3. Los m\u00e9todos de descenso<\/strong><\/p>\n

La mayor\u00eda de los m\u00e9todos computacionales que se desarrollan en el \u00e1mbito de la Matem\u00e1tica Aplicada son de car\u00e1cter iterativo. Es el caso de los m\u00e9todos de descenso que describimos en esta secci\u00f3n. El principio b\u00e1sico es tan sencillo y natural como eficaz y reposa en el hecho de que, si somos capaces de encontrar un m\u00e9todo que mejore un dise\u00f1o previo, aplicando este m\u00e9todo de manera reiterada, deber\u00edamos obtener dise\u00f1os cada vez mejores, del mismo modo que la pr\u00e1ctica constante en cualquier actividad nos permite mejorar el rendimiento.<\/p>\n

\"paraboloide\"<\/p>\n

Figura 2: Izquierda: Superficie de un parabolide cuyo m\u00ednimo est\u00e1 bien identificado y que un m\u00e9todo de descenso encuentra con facilidad. Derecha: Superfecie m\u00e1s compleja en la que los m\u00e9todos de descenso corren el riesgo de no converger.<\/p>\n

Suponiendo que hayamos ya solventado el problema de obtener una aproximaci\u00f3n adecuada del campo de velocidades del fluido, lo cual a su vez permite un c\u00e1lculo efectivo fiable del valor del funcional coste en una determinada configuraci\u00f3n geom\u00e9trica nos enfrentamos ahora a la minimizaci\u00f3n del funcional coste en consideraci\u00f3n.<\/p>\n

Veamos c\u00f3mo podemos dise\u00f1ar un m\u00e9todo iterativo que pueda ser de utilizaci\u00f3n sistem\u00e1tica en la minimizaci\u00f3n de funcionales y por tanto en dise\u00f1o \u00f3ptimo.<\/p>\n

En aquellos casos en que el funcional es convexo que se emplea para denominar las figuras que presentan la forma que se indica en la izquierda de la Figura.<\/p>\n

En cualquier caso, lo que debemos mantener en mente es que los m\u00e9todos de descenso que vamos a describir funcionan y proporcionan el valor m\u00ednimo en aquellas situaciones geom\u00e9tricas en las que una part\u00edcula depositada sobre la superficie y sometida a la fuerza de la gravedad converge.<\/p>\n

Tal y como se muestra en la izquierda de la Figura, es relativamente f\u00e1cil calcular su m\u00ednimo a trav\u00e9s de un m\u00e9todo iterativo de descenso que lo que hace es reproducir algor\u00edtmicamente la trayectoria que una canica en el interior de la superficie seguir\u00eda hasta caer en el punto de m\u00ednimo por efecto de la gravedad, o la que adoptar\u00edamos para descender una ladera lo m\u00e1s r\u00e1pido posible.<\/p>\n

Desafortunadamente, en las aplicaciones aeron\u00e1uticas que nos ocupan, a causa de la compleja dependencia del funcional con respecto al dominio a trav\u00e9s de las ecuaciones de la Mec\u00e1nica de Fluidos antes mencionadas, no podemos asegurar que se tenga la forma convexa que tanto conviene a los m\u00e9todos iterativos de minimizaci\u00f3n (v\u00e9ase la figura de la izquierda m\u00e1s abajo), sino m\u00e1s bien todo lo contrario, present\u00e1ndose m\u00e1s bien una gr\u00e1fica como la mostrada a la derecha.<\/p>\n

Recordemos brevemente el algoritmo iterativo del m\u00e9todo de gradiente, tambi\u00e9n denominado, muy elocuentemente, de m\u00e1xima pendiente o “steepest descent” que reproduce precisamente la din\u00e1mica de la canica sometida a la fuerza de la gravedad a la que antes hac\u00edamos alusi\u00f3n. En este punto y en lo sucesivo abusamos de la notaci\u00f3n. Para dar un sentido riguroso a estas f\u00f3rmulas deber\u00edamos considerar el funcional definido en un espacio de Hilbert, definir la distancia entre dominios, sus deformaciones a trav\u00e9s de campos que apunten en la direcci\u00f3n normal, etc. Se dispone una teor\u00eda matem\u00e1tica consistente que arranca en los trabajos de J. Hadamard y que permite dar rigor a todo lo que aqu\u00ed describimos.<\/p>\n

En ausencia de convexidad, como en la figura de la izquierda m\u00e1s arriba, es f\u00e1cil imaginar c\u00f3mo una canica ubicada en la gr\u00e1fica se perder\u00eda en una din\u00e1mica ininterrumpida sobre la superficie con esta geometr\u00eda compleja, por efecto de la gravedad, sin nunca llegar a un punto de m\u00ednimo.
\nPero, en la pr\u00e1ctica, a pesar de no poder garantizar que estemos en una configuraci\u00f3n en la que el m\u00ednimo del funcional existe, este hecho no es un obst\u00e1culo para seguir aplicando la metodolog\u00eda que estamos presentando, puesto que, como hab\u00edamos visto anteriormente, lo que realmente se busca en una aplicaci\u00f3n, es una nueva configuraci\u00f3n que mejore la anterior.<\/p>\n

El m\u00e9todo consiste en, a partir de un dise\u00f1o inicial de arrancada producir la sucesi\u00f3n de dise\u00f1os, de modo que, en cada paso, deforme el dominio previo en la direcci\u00f3n de m\u00e1ximo descenso del funcional coste.<\/p>\n

Hay otras versiones y variantes de este m\u00e9todo de m\u00e1ximo descenso como el m\u00e9todo de gradiente conjugado, el de Newton, etc. que son m\u00e1s eficaces pero que est\u00e1n inspirados en el mismo tipo de ideas y que, en definitiva, producen una sucesi\u00f3n que aproxima el m\u00ednimo que supone una variante de la anterior.<\/p>\n

La aplicaci\u00f3n de los m\u00e9todos iterativos, tal y como el m\u00e9todo del gradiente, necesitan, en cada paso de la iteraci\u00f3n, calcular el gradiente del funcional a minimizar que representa la sensibilidad del funcional con respecto a cada uno de los par\u00e1metros de dise\u00f1o. Es un principio fundamental que una buena estrategia de optimizaci\u00f3n ha de estar basada en una buena comprensi\u00f3n del funcional a minimizar, lo mismo que el pilotaje de un veh\u00edculo con destreza exige un buen conocimiento de la respuesta del mismo al accionamiento de los diversos mandos que lo regulan. El gradiente codifica precisamente la sensibilidad del funcional frente a la alteraci\u00f3n de los par\u00e1metros de dise\u00f1o.<\/p>\n

El c\u00e1lculo del gradiente, como vamos a ver, es formalmente f\u00e1cil de realizar aunque, cuando abordamos las aplicaciones reales a las que nos referimos, puede resultar sumamente costoso y complejo cuando el n\u00famero de par\u00e1metros de dise\u00f1o es elevado. Por ejemplo, en el \u00e1mbito del dise\u00f1o de una aeronave el n\u00famero de par\u00e1metros relevantes puede ser del orden del centenar, correspondiendo cada uno de ellos a diferentes elementos geom\u00e9tricos de la aeronave (alas, sustentadores, cola, motores, etc.) sin contar otros como los propios materiales de los que est\u00e1 constituida, tema de gran actualidad tambi\u00e9n en el mundo de la aeron\u00e1utica que comienza a incorporar nuevos materiales en sus modelos m\u00e1s vanguardistas.<\/p>\n

En la pr\u00e1ctica, el campo fluido obedece a las ecuaciones de la Mec\u00e1nica de Fluidos en el exterior de la regi\u00f3n ocupada por la aeronave. Al derivar estas ecuaciones con respecto a las deformaciones del dominio, con el objeto de calcular la sensibilidad del fluido con respecto a variaciones de la misma, se obtiene un modelo linealizado, a las ecuaciones no-lineales que gobiernan el comportamiento del propio campo fluido.<\/p>\n

Esto supone un gran inconveniente cuando consideramos problemas en los que el n\u00famero de par\u00e1metros de dise\u00f1o es muy grande, como ocurre en la pr\u00e1ctica. En efecto, en una aplicaci\u00f3n real, la ecuaci\u00f3n de fluidos no puede ser resuelta anal\u00edticamente sino que ha de ser aproximada num\u00e9ricamente.<\/p>\n

En la pr\u00e1ctica estas ecuaciones han de resolverse de manera aproximada mediante el uso de herramientas computacionales gracias a los ordenadores, discretizando el dominio fluido, y generando un mallado computacional. Cada nodo de este mallado es un punto en el que aproximamos la soluci\u00f3n.<\/p>\n

\"Figura3\"<\/p>\n

Figura 3: Izquierda: Mallado o triangulaci\u00f3n del dominio computacional constituido por el exterior de una secci\u00f3n bidimensional de un ala. Centro: Mallado regular del plano. Derecha: Deformaciones de Hicks-Henne en el dise\u00f1o de la secci\u00f3n 2-d de un ala.<\/p>\n

Antes habl\u00e1bamos del gran n\u00famero de par\u00e1metros de dise\u00f1o que se presentan habitualmente en las aplicaciones. En principio, a nivel computacional, la deformaci\u00f3n de la geometr\u00eda podr\u00eda realizarse moviendo cada nodo que est\u00e1 sobre su superficie, pero esto ser\u00eda inmanejable. En la pr\u00e1ctica no es esto lo que se hace sino que se identifican zonas o perfiles que deforman simult\u00e1neamente un cierto n\u00famero de nodos, con unas formas predeterminadas, fruto de desarrollos anal\u00edticos o experimentales. Pero, a pesar de ello, el n\u00famero de par\u00e1metros de dise\u00f1o resulta a\u00fan del orden de las decenas y esto tiene un coste computacional excesivo.<\/p>\n

Esto puede ser remediado por la t\u00e9cnica del “estado adjunto” que constituye una versi\u00f3n moderna de los cl\u00e1sicos multiplicadores de Lagrange que nos permite, mediante la resoluci\u00f3n de un s\u00f3lo sistema adicional, calcular la sensibilidad con respecto a cualquier par\u00e1metro.<\/p>\n

4. Las matem\u00e1ticas de los fluidos<\/strong><\/p>\n

Los modelos matem\u00e1ticos de los fluidos son algunos de los objetos matem\u00e1ticos m\u00e1s complejos y relevantes sobre los que a\u00fan no se dispone una comprensi\u00f3n completa. Son muchos los factores que hacen que esto sea as\u00ed. Uno de ellos es el hecho de que las soluciones desarrollen choques o discontinuidades, del mismo modo que las olas marinas se rompen al llegar al litoral. Esto hace que los m\u00e9todos matem\u00e1ticos habituales, basados en la intuici\u00f3n y t\u00e9cnicas desarrolladas en el \u00e1mbito de las superficies y funciones regulares, y que conducen a los gradientes de los funcionales que hemos de emplear en la implementaci\u00f3n de los m\u00e9todos de descenso, no puedan ser utilizados sin una revisi\u00f3n a fondo de los mismos.<\/p>\n

Los choques o singularidades en Mec\u00e1nica de Fluidos son un tema cl\u00e1sico y sin duda uno de los m\u00e1s importantes para la teor\u00eda actual de EDP. Por otra parte, las ondas de choque son de hecho uno de los fen\u00f3menos m\u00e1s relevantes en muy diversos \u00e1mbitos de la Mec\u00e1nica (detonaciones, terremotos, fracturas, etc.) y, como vamos a ver, influyen de manera decisiva en los dise\u00f1os aeron\u00e1uticos.<\/p>\n

Desde un punto de vista matem\u00e1tico, sin ir m\u00e1s lejos, la unicidad y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones espaciales constituye uno de los problemas del milenio de la Fundaci\u00f3n Clay.<\/p>\n

El modelo m\u00e1s sencillo en el que este tipo de fen\u00f3menos queda de manifiesto es la ecuaci\u00f3n de Burgers uni-dimensional que se asemeja a las ecuaciones de Euler de los fluidos perfectos en tres dimensiones espaciales. Sus soluciones desarrollan discontinuidades, tambi\u00e9n denominadas choques, de igual modo que las olas del mar, con perfiles suaves en alta mar, se rompen al llegar a la costa. Esto es as\u00ed pues las soluciones toman valores constantes a lo largo de las trayectorias que describen las denominadas curvas caracter\u00edsticas que son las que trazan las propias part\u00edculas del fluido en movimiento. Al colisionar dos part\u00edculas las soluciones se encuentran ante el conflicto de tomar dos valores distintos, generando una discontinuidad, del mismo modo que el tubo de una ola, antes de romperse, se enrolla sobre s\u00ed mismo en una configuraci\u00f3n aparentemente imposible.<\/p>\n

Tal y como hemos se\u00f1alado, uno de los elementos clave en el desarrollo de la metodolog\u00eda que acabamos de presentar, es la utilizaci\u00f3n de esquemas num\u00e9ricos eficaces para la aproximaci\u00f3n de las soluciones puesto que \u00e9stas rara vez pueden ser obtenidas de forma expl\u00edcita.<\/p>\n

\"Figura4\"<\/p>\n

Figura 4: Izquierda: Imagen de una ola que en su lado izquierdo ya se ha roto y que en el otro est\u00e1 a punto de hacerlo. Centro: Evoluci\u00f3n de un frente soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de Burgers sin viscosidad que, de izquierda a derecah, se observa como desarrolla un choque. Derecha: Recas caracter\u00edsticas que colisionan describiendo una curva sobre la que se propaga un choque.<\/p>\n

En el marco de la ecuaci\u00f3n de Burgers, en ausencia de viscosidad, los esquemas m\u00e1s habituales son esquemas en diferencias finitas conservativos.<\/p>\n

Existen muchos esquemas num\u00e9ricos que satisfacen las condiciones de consistencia y estabilidad necesarias para garantizar su convergencia (Lax-Friedrichs, Engquist-Osher, Godunov, Roe, etc.) y se distinguen, en particular, por tener una eficacia muy distinta cuando se trata de aproximar soluciones que presentan choques.<\/p>\n

Frecuentemente, los esquemas m\u00e1s eficaces, como el de Godunov y Roe, no son diferenciables, al involucrar una funci\u00f3n de flujo que no lo es lo cual impide la aplicaci\u00f3n de los m\u00e9todos de descenso basados en el gradiente del funcional, tal y como los hemos presentado.<\/p>\n

En efecto, la posible presencia de discontinuidades o choques en las soluciones hace que los esquemas tengan que ser sensibles al direccionamiento del flujo e incluso a su amplitud. Esto hace que todo buen esquema haya de incorporar limitadores, t\u00e9rminos que se activan s\u00f3lo en determinadas circunstancias en funci\u00f3n del valor de ciertos sensores que miden, en particular, la inminencia de los posibles choques. De este modo los esquemas dejan de ser suaves en el paso de un nodo a otro y el formalismo de linealizaci\u00f3n anterior deja de ser v\u00e1lido. Este problema es inevitable pues los esquemas suaves, para capturar los choques de las soluciones, necesitan unos mallados tan finos que en la pr\u00e1ctica suponen un coste computacional excesivo y no pueden ser utilizados.<\/p>\n

Esto conduce a un dif\u00edcil dilema: Necesitamos esquemas que resuelvan bien los posibles choques que se presentan en el fluido, pero esto nos obliga a utilizar esquemas num\u00e9ricos que no son diferenciables, lo cual dificulta considerablemente el empleo de los m\u00e9todos de descenso.<\/p>\n

Se trata \u00e9ste de un tema de gran importancia, que se acrecienta en problemas m\u00e1s complejos derivados de las aplicaciones a la aeron\u00e1utica que describimos y que son objeto a\u00fan de investigaciones exhaustivas.<\/p>\n

\"Figura5\"<\/p>\n

Figura 5: Izquierda: Evoluci\u00f3n del coeficiente de presiones Cp a lo larago de la superficie del ala, al pasar de la geometr\u00eda incial (en negro) a la nueva (en rojo) tras un proceso de optimizac\u00f3n. Centro: Rendimiento de los diversos m\u00e9todos de descenso aplicados a la ecuaci\u00f3n de Burgers mediante diferentes esquemas de discretizaci\u00f3n y diferenciando, sobre todo, el tratamiento de los choques. Derecha: Inestabilidades num\u00e9ricas.<\/p>\n

Una vez de haber desarrollado el programa matem\u00e1tico expuesto y el algoritmo de descenso en alguno de los lenguajes de programaci\u00f3n m\u00e1s avanzados, pondremos el programa en marcha en el ordenador (normalmente un superordenador o granja de ordenadores para simulaciones de caracter\u00edsticas realistas) a la espera de obtener un dise\u00f1o algo mejor que el que ten\u00edamos anteriormente.<\/p>\n

Pero no hay que excluir que nos encontremos, de manera inesperada y contrariamente a nuestras expectativas, con resultados un tanto desconcertantes. En efecto, es frecuente que cuando, al cabo de un gran n\u00famero de iteraciones y de haber consumido el tiempo computacional disponible, paramos un algoritmo, observar un resultado fuertemente oscilante que resulte a todas luces inutilizable puesto que una deformaci\u00f3n de este tipo de la forma de un veh\u00edculo es irrealizable y contraria al propio sentido com\u00fan.<\/p>\n

Estamos frente a una falsa soluci\u00f3n, espuria, producida por el m\u00e9todo num\u00e9rico, un fantasma num\u00e9rico, y no la que corresponde al problema real original planteado. Es una situaci\u00f3n producida por la acumulaci\u00f3n de errores num\u00e9ricos que en los que en cada paso del complejo proceso de optimizaci\u00f3n vamos incurriendo y que acaban corrompiendo completamente los resultados num\u00e9ricos finales. Es una manifestaci\u00f3n de haber violado la condici\u00f3n de estabilidad que, junto con la de consistencia antes mencionada, seg\u00fan el Teorema de Peter Lax (Premio Abel 2005), garantiza la convergencia de un m\u00e9todo num\u00e9rico. Esta inestabilidad es la que produce este tipo de resultado altamente oscilante, de alta frecuencia y gran amplitud.<\/p>\n

Es por eso que los algoritmos iterativos de tipo gradiente que hemos descrito han de ser suplementados con frecuencia con t\u00e9cnicas de filtrado y\/ o regularizaci\u00f3n de las altas frecuencias espurias, lo cual se realiza con frecuencia mediante la utilizaci\u00f3n de varios mallados simult\u00e1neos, del mismo modo que las obras de arte necesitan de un acabado o pulido final antes de considerarse terminadas.<\/p>\n

Conclusiones: Algunos retos<\/strong><\/p>\n

En este art\u00edculo hemos descrito los ingredientes principales de los m\u00e9todos matem\u00e1ticos de Dise\u00f1o \u00f3ptimo de formas, centr\u00e1ndonos en la aeron\u00e1utica. Como hemos visto, son muy diversos los elementos que intervienen en el desarrollo de una metodolog\u00eda global y sistem\u00e1tica y en la que las Matem\u00e1ticas juegan un papel central, en coordinaci\u00f3n con otras disciplinas y muy en particular con la Computaci\u00f3n.<\/p>\n

El programa que hemos descrito est\u00e1 fuertemente inspirado en las ideas de algunos de los cl\u00e1sicos como Euler y Newton, pero utiliza los desarrollos m\u00e1s actuales y avanzados de muy diversos \u00e1mbitos de las Matem\u00e1ticas. Hemos mencionado las dificultades que surgen en su implementaci\u00f3n y algunos problemas abiertos a los que esto conduce, que son de profundo calado matem\u00e1tico. En esta \u00faltima secci\u00f3n realizamos un breve resumen de las principales problemas abiertos que se plantean en \u00e9ste \u00e1rea, no sin antes recordar que la metodolog\u00eda descrita tiene un car\u00e1cter universal por su amplio e importante espectro de aplicaciones al que alud\u00edamos al inicio de este art\u00edculo, m\u00e1s all\u00e1 de los propios de la aeron\u00e1utica.<\/p>\n

Pero, afortunadamente, caminamos a hombros de gigantes!<\/p>\n

Entre los problemas m\u00e1s relevantes que quedan por resolver en este campo cabe mencionar:<\/p>\n

\u2022 Regularidad y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de los fluidos en tres dimensiones espaciales.<\/p>\n

\u2022 Desarrollo de m\u00e9todos de identificaci\u00f3n de choques y singularidades, lo cu\u00e1l requerir\u00e1 el empleo y desarrollo de t\u00e9cnicas propias del tratamiento de im\u00e1genes y de la geometr\u00eda computacional.<\/p>\n

\u2022 An\u00e1lisis de la sensibilidad de los funcionales de coste habituales con respecto a las singularidades del fluido.<\/p>\n

\u2022 M\u00e9todos eficaces para resolver num\u00e9ricamente las ecuaciones adjuntas que, aunque tengan un aspecto semejante a los modelos cl\u00e1sicos de la Mec\u00e1nica de Fluidos, poseen soluciones con caracter\u00edsticas muy distintas a las ecuaciones de estado que no son f\u00e1ciles de capturar.<\/p>\n

\u2022 Desarrollo de nuevos m\u00e9todos de minimizaci\u00f3n, que transciendan los m\u00e9todos gradiente habituales, puesto que estos \u00faltimos permiten mejorar los dise\u00f1os ya existentes pero no dar con otros m\u00e1s innovadores.<\/p>\n

\u2022 Desarrollo de m\u00e9todos de filtrado y regularizaci\u00f3n de las oscilaciones espurias que funcionen de manera sistem\u00e1tica y de modo que el calibrado de los par\u00e1metros relevantes pueda automatizarse.<\/p>\n

Todos estos problemas t\u00e9cnicos se enmarcan en un esfuerzo colectivo, que necesita un abordaje multidisciplinar, y que tiene como objetivo \u00faltimo el desarrollo de m\u00e9todos computacionales integrados en los que los procesos de simulaci\u00f3n del fluido y la optimizaci\u00f3n se realicen en paralelo, proporcionando herramientas de dise\u00f1o que puedan ser usados de manera intuitiva, creativa, vers\u00e1til y en tiempo real en entornos avanzados de dise\u00f1o, dotados de las m\u00e1s modernas tecnolog\u00edas, en particular, de realidad virtual.<\/p>\n

1 Agradezco a Francisco Palacios (Universidad de Stanford) por tantos a\u00f1os de colaboraci\u00f3n y todas esas conversaciones e intercambios de correos electr\u00f3nicos que me han permitido conocer un poco m\u00e1s de este apasionante tema. Francisco es el creador de la plataforma computacional m\u00e1s avanzado y adem\u00e1s de libre acceso en el campo de la simulaci\u00f3n y dise\u00f1o de formas en aeron\u00e1utica: Stanford University Unstructured (SU2); http:\/\/su2.stanford.edu\/<\/em><\/p>\n

2 Entendemos por ello que, con la capacidad de c\u00e1lculo de los ordenadores actuales, el tiempo necesario para realizar el c\u00e1lculo es tan largo que, en la pr\u00e1ctica, \u00e9ste resulta irrealizable o simplemente exige m\u00e1s tiempo del que disponemos. Es tambi\u00e9n frecuente que, cuando las simulaciones num\u00e9ricas se prolongan excesivamente, las inestabilidades que introduce el propio algoritmo computacional acaben corrompiendo los resultados y los hagan finalmente inservibles.<\/em><\/p>\n

3 La terminolog\u00eda \u201ccoste” en este contexto se utiliza en el sentido que, en muchas aplicaciones, el funcional a minimizar representa en efecto el coste econ\u00f3mico que supone una determinada configuraci\u00f3n. Minimizar el “coste”, tal y como nos proponemos aqu\u00ed, es pues un objetivo natural desde un punto de vista de la rentabilidad econ\u00f3mica.<\/em><\/p>\n

4 Desafortunadamente hay una cierta ambig\u00fcedad en la terminolog\u00eda que se emplea. En efecto, mientras que en la literatura matem\u00e1tica avanzada \u00e9stas se denominan \u201cconvexas”, tal y como lo hacemos aqu\u00ed, en cursos elementales de Matem\u00e1ticas se denominan \u201cc\u00f3ncavas”.<\/em><\/p>\n

Este art\u00edculo fue publicado originalmente en la revista CIC-Network, 2, Octubre 2007, pp. 22-28 y puede descargarse desde este enlace<\/a>.<\/p>\n

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1. El momento de las Matem\u00e1ticas. Las Matem\u00e1ticas son a la vez una ciencia b\u00e1sica, el lenguaje en el que est\u00e1 escrito el universo, como dec\u00eda Galileo Galilei, y tambi\u00e9n una disciplina que interacciona permanentemente con todos los dem\u00e1s \u00e1mbitos de nuestra sociedad. En efecto, la sociedad actual reposa cada vez m\u00e1s en la comprensi\u00f3n […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":997,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2],"tags":[],"class_list":["post-994","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-math-in-motion"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/994","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=994"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/994\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9200,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/994\/revisions\/9200"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/media\/997"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=994"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=994"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/cmc.deusto.eus\/enzuazua\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=994"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}